מספר מעושר

מספר מעושׂר הוא מספר מצולע מסדר 10, משמע מספר $D$ כך שניתן לסדר $D$ עצמים בצורת מעושר (מצולע בעל 10 צלעות) משוכלל. המספר המעושר ה-n-י נתון על ידי הנוסחה $D_{n}=n(4n-3)$. הנוסחה היא מקרה פרטי של הנוסחה הכללית למספר מצולע.

עשרת המספרים המעושרים הראשונים הם: 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297 ו-370.

תכונות

המספר המעושר ה-n-י זוגי כאשר n זוגי ואי-זוגי כאשר n אי-זוגי.

השיטה הסטנדרטית למציאת מספרים שהם מספרים מצולעים משני סדרים שונים היא באמצעות פתרון משוואות פל. משיטה זו נובע שאין מספר מעושר שהוא מספר ריבועי (למעט המקרה הטריוויאלי $D_{1}=1^{2}=1$). מספרים מעושרים הם המספרים המצולעים מהסדר הקטן ביותר שטענה זו תקפה לגביהם.

$D_{n}$ הוא מספר המחלקים השונים של המספר $48^{n-1}$. זאת משום שהפירוק לגורמים שלו הוא $48^{n-1}=2^{4n-4}\cdot 3^{n-1}$, ולכן לפי הנוסחה הידועה לפונקציית המחלקים:

$d(48^{n-1})=(4n-4+1)(n-1+1)=(4n-3)n=D_{n}$.

אם מתחילים את ספירלת אולם מהמספר 0, במקום מ-1 כמקובל, המספרים המעושרים מופיעים ברצף בשורה האמצעית, המתחילה מ-1 והולכת ימינה.

בתורת הגרפים, אינדקס וינר של גרף הוא סכום של מרחקים בין כל זוגות הצמתים בגרף. $D_{n}$ הוא אינדקס וינר של הגרף המורכב משני עותקים של הגרף השלם $K_{n}$, המחוברים ביניהם בקשת אחת. תוצאה זו מתקבלת מחישוב ישיר פשוט: יש $n(n-1)+1$ זוגות של צמתים שהמרחק ביניהם הוא 1; $2(n-1)$ זוגות עם מרחק 2; ו-$(n-1)^{2}$ זוגות עם מרחק 3. בסך הכל אינדקס וינר יוצא:

$1\cdot (n(n-1)+1)+2\cdot 2(n-1)+3\cdot (n-1)^{2}=n(4n-3)=D_{n}$

קישורים חיצוניים

• מספרים מעושרים באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
• רשימת 1,000 המספרים המעושרים הראשונים
• מספר מעושר, באתר MathWorld (באנגלית)